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Tableau de variations et tableau de signes d'une fonction

Cours complet de seconde pour apprendre à construire un tableau de variations et le compléter par un tableau de signes. Profitez de ce cours pour réviser tout ce que vous devez savoir faire pour une étude de fonctions.

TABLEAU DE VARIATIONS ET TABLEAU DE SIGNES

D'UNE FONCTION

 

 

Plan de cours

PREAMBULE

I. INTERVALLE DE DEFINITION

II. SENS DE VARIATIONS

III. PLACER UN EXTREMUM

IV. LE TABLEAU DE SIGNES

  1- Construire son tableau de signes

  2- Déterminer le signe d'une fonction à l'aide d'un tableau de signes

 

 


 

 

PREAMBULE

 

Le tableau de variations peut être considéré comme une synthèse de l'étude de fonction: de nombreux éléments que nous avons étudié sont ainsi exposés dans ce tableau, qui s'étoffera de nouvelles informations, vous le verrez en première. Le tableau de signes accompagne souvent le tableau de variations qu'il complète.

 

Savoir construite un tableau de variations et un tableau de signe.


 

I - L'ENSEMBLE DE DEFINITION

 

Le tableau de variations sert à décrire le comportement d'une fonction sur son ensemble de définition : intervalles de définition, sens de variation, extremum puis en Première les limites.

Il est composé d'au moins 2 lignes: la première est consacrée à la variable x, l'autre à la fonction f.

Une 3ème ligne peut indiquer le signe de f, il s'agit en fait d'un tableau de signe intégré au tableau de variations.

 

C'est la première ligne qui nous intéresse ici: Nous allons y reporter les intervalles de définition de la fonction.


         Soit une fontion f définie sur l'intervalle ]-∞ , a[ U ]a, b[ U ]b, c]       


On note d'abord les 2 bornes extrêmes de la fonction -∞ et c à gauche et à droite.

mettre les bornes extremes dans un tableau de variations


Les valeurs interdites a et b sont ensuite disposées et un double trait vertical est tracé pour signifier qu'il s'agit de valeurs interdites.

mettre les valeurs interdites sur un tableau de variations d'une fonction

 

 

 

II - LE SENS DE VARIATIONS

 

Une fois les variations de f connues, elles sont indiquées dans le tableau sous forme de flèches.

 

Pour connaître le sens de variation d'une fonction, il existe plusieurs méthodes.

En Seconde, vous étudierez sur un intervalle I où f est défini a et b tels que a < b : vous devrez alors montrer que f(a) -fonction croissante- ou f(a)>f(b) -fonction décroissante.

Voir le cours complet de Seconde Sens de variation et extremum d'une fonction.

Vous verrez en Première et Terminale que l'on peut aussi étudier le signe de la dérivée d'une fonction.

 

La fonction f est:

Croissante sur l'intervalle ]-∞ , a[

Décroissante sur l'intervalle ]a , h[

Croissante sur l'intervalle ]h , b[

Décroissante sur l'intervalle ]b , c]

 

 

 

Il vous faudra peut être reporter de nouvelles valeurs dans la ligne consacrée à x si jamais f change de sens sur un intervalle de définition donné: ici par exemple f change de sens dans l'intervalle ]a, b[ à la valeur h.

 

 

 

III - MAXIMUM ET MINIMUM

 

On peut indiquer les maxima et minima d'une fonction dans son tableau de variations, qui nous permet de les repérer facilement.


Pour savoir comment trouver un minimum ou un maximum en Seconde, consulter le cours Voir le cours complet de Seconde Sens de variation et extremum d'une fonction.


f présente 2 minimum sur la fonction f, en h et en c. Nous noterons :

f(h) = m1

f(c) = m2


Mettre un <span class=extremum dans un tableau de variations " width="550" height="137" />


Dès lors que vous observez un changement de sens de variations sur un même intervalle de définition, vous pouvez légitimement supposer l'existence d'un extremum! C'est le cas avec le minimum m1, lorsque x vaut h.

 

 

 

IV - LE TABLEAU DE SIGNES


Le tableau de signes peut compléter le tableau de variations en indiquant sur quels intervalles f est positive ou négative.

Mais c'est aussi un outil qui peut nous aider à déterminer le signe de certaines fonctions, notamment des fonctions rationnelles.


 

  Construire son tableau de signes  


• D'abord, repérer les valeurs de x pour lesquelles f est nulle et créer une nouvelle ligne dans le tableau, que nous appellerons "Signe de f".

• On note ensuite ces valeurs dans le tableau de variations à la ligne de x, en traçant des lignes verticales partant des valeurs annulant f et jusqu'en bas du tableau.

• Pour finir on tente de déterminer le signe de la fonction pour chaque intervalle.


On vous donne maintenant les informations suivantes sur f:

  • f est positive sur l'intervalle ]-∞ , a[
  • f(r1)=f(r2) = 0, avec r1]a , h[ et   r2]h , b[
  • m2 > 0

 

On en déduit :

NB. Comme m2 > 0 , on en déduit que f est positive sur ]b , c]

 

 

 

Déterminer le signe d'une fonction à l'aide d'un tableau de signes

 

Un usage fréquent du tableau de signe: décomposer une fontion en produits et quotients de plusieurs fonctions, et étudier le signe de chacune d'entre elles. On applique alors la règle du produit pour déterminer le signe de notre fonction initiale. Mais rien de tel qu'un petit exemple, celui d'une fonction rationnelle toute simple:


Soit la fonction définie sur :  f(x) =  

 

Commençons comme toujours par l'ensemble de définition: le dénominateur ne pouvant être nul, on en déduit l'intervalle de f:  ]-∞ , -7[ U ]-7 , 2[ U ]2 , +∞[

On écrit cet intervalle sur la 1ère ligne comme on l'a appris dans ce cours.

On décompose ensuite f en 3 fonctions très simples que l'on dispose en ligne.

On applique la règle habituelle des signes sur lors d'un produit pour en déduire les signes de f sur son ensemble de définition.


 

 

Et on peut vérifier avec le graphique de la fonction f que tout correspond:



C'est la fin de ce cours, et la fin de toute la partie Analyse en seconde (j'en vois certains au fond qui sourient ).

Un petit conseil si je puis me permettre: entraînez-vous à construire le tableau de variations de toutes les fonctions classiques que vous savez étudier.



 






Commenter
HL

Nom (requis)16/10/2014

on ne peut pas

HL

Tatianaxp3628/10/2014

est ce qu'on peut trouver une intervalle par le calcul sans tableau de signes ?

Mathématiques,
11-05-2012
Tableau de variations et tableau ...
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